Question

已知函數f（x）=ln（x+a）-x²-x（a∈R）在x=0處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）證明：ln（x+1）≤x²+x；
（3）若關于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

1

x+a

-2x-1，由在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，解出即可．
（2）當a=1時，f（x）=ln（x+1）-x²-x，其定義域為{x|x＞-1}．利用導數研究函數f（x）在（-1，+∞）上的最值，即可證明．
（3）f（x）=-

5

2

x+b即ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0，令g（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，x∈（-1，+∞）．關于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根?g（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根．利用導數研究其單調性極值與最值，數形結合即可得出．

解答： （1）解：f′（x）=

1

x+a

-2x-1，
∵在x=0處取得極值，
∴f′（0）=0，
∴

1

a

-1=0，解得a=1．
經過驗證a=1時，符合題意．
（2）證明：當a=1時，f（x）=ln（x+1）-x²-x，其定義域為{x|x＞-1}．
f′（x）=

1

x+1

-2x-1=

-x(2x+3)

x+1

，
令f′（x）=0，解得x=0．
當x＞0時，令f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當-1＜x＜0時，令f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
∴f（0）為函數f（x）在（-1，+∞）上的極大值即最大值．
∴f（x）≤f（0）=0，∴l(xiāng)n（x+1）≤x²+x，當且僅當x=0時取等號．
（3）解：f（x）=-

5

2

x+b即ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0，
令g（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，x∈（-1，+∞）．
關于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根?g（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數根．
g′（x）=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上單調遞增．
當x∈（1，2）時，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上單調遞減．
∴

g(0)=-b≤0 g(1)=ln2-1+ 3 2 -b＞0 g(2)=ln3-1-b≤0

，
∴ln3-1≤b≤ln2+

1

2

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、方程的實數根轉化為函數圖象與x軸的交點的問題，考查了數形結合思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．