Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax+1，a∈R．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax+1，
∴f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，
則此時f′（x）＜0恒成立，
則

f′(1)≤0 f′(-1)≤0

，
則

0≤0 -2(-1-a)≤0

，
即1+a≤0，a≤-1，
故答案為：a≤-1；

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)致的關(guān)系，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．