Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=4，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)E為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：DE⊥平面PAE；
（2）若BE=1，求二面角P-ED-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE⊥平面PAE．
（2）BE=1時(shí)，分別求出平面PDE的法向量和平面DAE的法向量，利用向量法能求出二面角P-ED-A的余弦值．

解答： （1）證明：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．…（1分）
∵四邊形ABCD為矩形，且AD=4，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，
E為線段BC的中點(diǎn)，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），E（2，2，0），

DE

=(2，-2，0)，

AE

=（2，2，0），
∴

DE

•

AE

=4-4+0=0，∴DE⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥DE，又PA∩AE=A，
∴DE⊥平面PAE．
（2）解：若BE=1，則P（0，0，1），E（2，1，0），D（0，4，0），
∴

PE

=(2，1，-1)，

PD

=(0，4，-1)，
設(shè)平面PDE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PE =2x+y-z=0 n • PD =4y-z=0

，取y=2，得

n

=(3，2，8)，
又平面DAE的法向量

m

=(0，0，1)，
二面角P-ED-A的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

8

77

|=

8 77

77

，
∴二面角P-ED-A的余弦值是

8 77

77

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．