Question

過點(diǎn)P（2，3）作直線l分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A（a，0），B（0，b）兩點(diǎn)．
（1）求|OA|+|OB|的最小值．
（2）當(dāng)△AOB（O為原點(diǎn)）的面積S最小時(shí)，求直線l的方程，并求出S的最小值．
（3）當(dāng)|PA|•|PB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）過P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D，設(shè)∠PAO=θ，利用解直角三角形知識(shí)算出|AC|=

3

tanθ

且|BD|=2tanθ，從而將|OA|+|OB|表示為關(guān)于tanθ的式子，再利用基本不等式加以計(jì)算，即可求出|OA|+|OB|的最小值；
（2）設(shè)AB的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），可得

2

a

+

3

b

=1，利用基本不等式算出ab≥24，可得當(dāng)且僅當(dāng)a=4且b=6時(shí)，△AOB的面積S有最小值為12，進(jìn)而算出此時(shí)的直線l方程；
（3）由（1）的結(jié)論得|PA|=

3

sinθ

且|PB|=

2

cosθ

，利用二倍角的正弦公式算出|PA|•|PB|=

12

sin2θ

，由正弦函數(shù)的值域可得當(dāng)θ=45°時(shí)，|PA|•|PB|取最小值12．而此時(shí)直線的傾斜角為135°，得到斜率為-1，利用點(diǎn)斜式方程列式，化簡可得直線l的方程．

解答：解：設(shè)∠PAO=θ，則可得θ∈（0，

π

2

），
過P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D，
則Rt△PDB中，tanθ=

|BD|

|PD|

，可得|BD|=|PD|tanθ=2tanθ，
cosθ=

|PD|

|PB|

，可得|PB|=

|PD|

cosθ

=

2

cosθ

，
同理，在Rt△PAC中，有|AC|=

|PC|

tanθ

=

3

tanθ

，|PA|=

3

sinθ

，
（1）|OA|+|OB|=|OC|+|AC|+|OD|+|BD|=5+

3

tanθ

+2tanθ，
∵θ∈（0，

π

2

），得tanθ＞0，
∴

3

tanθ

+2tanθ≥2

3 tanθ •2tanθ

=2

6

，可得當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=

6

2

時(shí)，等號(hào)成立．
由此可得|OA|+|OB|=5+

3

tanθ

+2tanθ的最小值為5+2

6

；
（2）設(shè)直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），
∵點(diǎn)P（2，3）在直線上，∴

2

a

+

3

b

=1，
由基本不等式，得1=

2

a

+

3

b

≥2

2 a • 3 b

=

24 ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=4且b=6時(shí)，等號(hào)成立，
∴ab≥24，可得△AOB的面積S=

1

2

ab≥12，
因此△AOB的面積S的最小值為12，
此時(shí)的直線方程為

x

4

+

y

6

=1，即3x+2y-12=0．
（3）∵|PA|=

3

sinθ

，|PB|=

2

cosθ

，
∴|PA|•|PB|=

3

sinθ

•

2

cosθ

=

12

sin2θ

，
∴當(dāng)2θ=90°，即θ=45°時(shí)，|PA|•|PB|取最小值12，
此時(shí)，直線的傾斜角為135°，斜率為-1，
直線l的方程為y-3=-1（x-2），化為一般式可得x+y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線經(jīng)過定點(diǎn)，求滿足特殊條件的直線方程，著重考查了直線的基本量與基本形式、三角形面積的計(jì)算和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．