Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N．
（1）證明：數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式及其前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），由此能證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列．
（2）由a₁=2，a₁-1=1，

an+1-(n+1)

an-n

=4，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式及其前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
∴

an+1-(n+1)

an-n

=4，
∴數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列．
（2）解：∵a₁=2，a₁-1=1，

an+1-(n+1)

an-n

=4，
∴a_n-n=1×4^n-1，
∴a_n=n+4^n-1．
∴S_n=

n(n+1)

2

+

1-4n

1-4

=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．