Question

將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}排成如圖所示的三角形數(shù)陣（第n行有n個(gè)數(shù)，同一行下標(biāo)小的排在左邊）．b_n表示數(shù)陣中第n行第1列的數(shù)．
已知數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且從第3行開(kāi)始，各行均構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34．
（1）求數(shù)陣中第m行第n列（m，n∈N⁺且m≥3，n≤m）的數(shù)A_mn（用m，n表示）；
（2）試問(wèn)a₂₀₁₅處在數(shù)陣中第幾行第幾列？
（3）試問(wèn)這個(gè)數(shù)列中是否有2015這個(gè)數(shù)？有求出具體位置，沒(méi)有說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意和等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出關(guān)于公差d和公比q的方程組，求出q、d的值、b_n，由題意和等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出A_mn的表達(dá)式；
（2）由圖表得到每一行中數(shù)的個(gè)數(shù)，由等差數(shù)列的求和公式求出前62、63行數(shù)的個(gè)數(shù)，從而確定a₂₀₁₅為數(shù)陣中第63行第62列的數(shù)；
（3）假設(shè)2015為數(shù)陣中第m行第n列的數(shù)，由數(shù)的規(guī)律列出不等式，再取特值進(jìn)行驗(yàn)證，從而確定不等式?jīng)]有整數(shù)解，即可說(shuō)明2015不在該數(shù)陣中．

解答： 解：（1）設(shè)公比為q，公差為d，
由題意知：a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34，
所以b₁=a₁=1，則

a12=q4+d=17 a18=q5+2d=34

，…2分
解得：q=2、d=1，則b_n=2^n-1，
所以A_mn=b_m+（n-1）d=2^n-1+n-1…4分
（2）由表格知：每一行中有n個(gè)數(shù)，
因?yàn)?+2+3+…+62=

62(1+62)

2

=1953，1+2+3+…+63=1953+63=2016…6分
所以2015-1953=62…8分
則a₂₀₁₅為數(shù)陣中第63行第62列的數(shù)．…10分
（3）假設(shè)2015為數(shù)陣中第m行第n列的數(shù)，
由第m行最小的數(shù)為2^m-1，最大的數(shù)為2^m-1+m-1，
所以2^m-1≤2015≤2^m-1+m-1，…14分
當(dāng)m≤11時(shí)，2^m-1+m-1≤2¹⁰+10=1034＜2013；…16分
當(dāng)m≥12時(shí)，2^m-1≥2¹¹=2048＞2015，
于是，不等式2^m-1≤2015≤2^m-1+m-1沒(méi)有整數(shù)解，
所以2015不在該數(shù)陣中．…18分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，歸納法的應(yīng)用，考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，解答此題要有很好的耐心，考查了邏輯思維能力和運(yùn)算能力，是難度非常大的少見(jiàn)題目．