Question

已知f（x）=sinx（cosx-sinx），x∈R．
（1）求f（x）的最大值和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若a∈（0，

π

2

），f（a）=

2 -2

4

，求a的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)的倍角公式將函數(shù)進行化簡即可求f（x）的最大值和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若a∈（0，

π

2

），求出f（a）=

2 -2

4

，得sin（2α+

π

4

）=

1

2

，解方程即可求a的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinx（cosx-sinx）=sinxcosx-sin²x）=

1

2

sin2x-

1-cos2x

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x-

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

，
當(dāng)sin（2x+

π

4

）=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，即f（x）的最大值為

2

2

-

1

2

，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）f（a）=

2

2

sin（2α+

π

4

）-

1

2

=

2 -2

4

，
即sin（2α+

π

4

）=

1

2

，
若a∈（0，

π

2

），則2α+

π

4

∈（

π

4

，

5π

4

），
∴2α+

π

4

=

5π

6

，解得α=

7π

24

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)倍角公式將函數(shù)化簡是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．