Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的

2

倍，P為側(cè)棱SD上的點．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（3）在（2）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點，

OB

，

OC

，

OS

分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)底面邊長為a，求出高SO，從而得到點S與點C和D的坐標(biāo)，求出向量

OC

與

SD

，計算它們的數(shù)量積，從而證明出OC⊥SD，則AC⊥SD；
（2）根據(jù)題意先求出平面PAC的一個法向量

DS

和平面DAC的一個法向量

OS

，設(shè)所求二面角為θ，則cosθ=

OS • DS

| OS || DS |

=

3

2

，從而求出二面角的大��；
（3）在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC，根據(jù)（Ⅱ）知

DS

是平面PAC的一個法向量，設(shè)

CE

=t

CS

，求出

BE

，根據(jù)

BE

•

DS

=0可求出t的值，從而即當(dāng)SE：EC=2：1時，

.

BE

⊥

.

DS

，而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC

解答：證明：（1）連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，

OB

，

OC

，

OS

分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O-xyz如圖．
設(shè)底面邊長為a，則高SO=

6

2

a．
于是S(0，0，

6

2

a)，D(-

2

2

a，0，0)，
C(0，

2

2

a，0)，

OC

=(0，

2

2

a，0)，

SD

=(-

2

2

a，0，-

6

2

a)，

OC

•

SD

=0
故OC⊥SD
從而AC⊥SD
（2）由題設(shè)知，平面PAC的一個法向量

DS

=(

2

2

a，0，

6

2

a)，
平面DAC的一個法向量

OS

=(0，0，

6

2

a)．
設(shè)所求二面角為θ，則cosθ=

OS • DS

| OS || DS |

=

3

2

，
所求二面角的大小為30°．
（3）在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC．
由（Ⅱ）知

DS

是平面PAC的一個法向量，
且

DS

=(

2

2

a，0，

6

2

a)，

CS

=(0，-

2

2

a，

6

2

a)
設(shè)

CE

=t

CS

，
則

BE

=

BC

+

CE

=

BC

+t

CS

=(-

2

2

a，

2

2

a(1-t)，

6

2

at)
而

BE

•

DS

=0?t=

1

3

即當(dāng)SE：EC=2：1時，

.

BE

⊥

.

DS

而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關(guān)系的判定和二面角的求法，涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．