Question

.已知橢圓離心率，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與橢圓交與M，N兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由得（4k²+1）x²+8kx=0．再由根的判別式和韋達(dá)定理能求出直線l的方程．
解答：解：（1）由已知得，
∵，
∴
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（6分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由得（4k²+1）x²+8kx=0…（8分）
△=64k²，
∵直線l：y=kx+1與橢圓交與M，N兩點(diǎn)，
∴
∴|MN|=
=
=，
∴k=±1，或，（10分）
∴直線方程為y=x+1，或y=-x+1，或y=，或y=-．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．