在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個(gè)焦分別為F1，F(xiàn)2．過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線(xiàn)l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在橢圓C上，若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）由題設(shè)知
c
a
=
2
2
2b2
a
=2
a2=b2+c2
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1，橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），知B（0，-
2
），若存在存在直線(xiàn)l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′落在橢圓C上，則直線(xiàn)BB′過(guò)點(diǎn)B（0，-
2
），且直線(xiàn)l垂直平分線(xiàn)段BB′，由此能求出直線(xiàn)l的方程．
解答：解：（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，
左右兩個(gè)焦分別為F1，F(xiàn)2．過(guò)右焦點(diǎn)F2且與軸垂直的直線(xiàn)與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2，
∴
c
a
=
2
2
2b2
a
=2
a2=b2+c2
，解得a=2，b=
2
，c=
2
，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1．
（2）∵橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1，橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），
∴B（0，-
2
），
若存在存在直線(xiàn)l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′落在橢圓C上，
則直線(xiàn)BB′過(guò)點(diǎn)B（0，-
2
），且BB′⊥l，直線(xiàn)l垂直平分線(xiàn)段BB′，
∴直線(xiàn)BB′的方程為：y+
2
=-x，即x+y+
2
=0，
聯(lián)立
x+y+
2
=0
x2
4
+
y2
2
=1
，解得B（0，-
2
），B′（-
4
3
2
，
2
3
），
∵直線(xiàn)l：y=x+m垂直平分線(xiàn)段BB′，
∴直線(xiàn)l：y=x+m過(guò)BB′的中點(diǎn)（-
2
3
2
，-
2
3
），
∴m=-
2
3
+
2
2
3
=
2
3
．
∴直線(xiàn)l的方程為y=x+
2
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的方程是否存在，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線(xiàn)C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點(diǎn)N滿(mǎn)足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線(xiàn)l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2cosx+1，2cos2x+2）和點(diǎn)Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線(xiàn)OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線(xiàn)OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線(xiàn)段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問(wèn)：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線(xiàn)l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn)；
（II）求直線(xiàn)l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng)．

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