Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）在一個周期內，當x=

π

6

時，y有最大值為2，當x=

2π

3

時，y有最小值為-2．
（1）求函數(shù)f（x）表達式；
（2）若g（x）=f（-x），求g（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得A=2且函數(shù)的周期T=π，再將點(

π

6

，2)代入表達式，結合已知條件求出?=

π

6

，從而得到函數(shù)f（x）表達式；
（2）結合（1）的表達式，得g(x)=-2sin(2x-

π

6

)，結合正弦曲線的單調區(qū)間的公式，解關于x的不等式，即可得到函數(shù)g（x）的單調遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵在一個周期內，當x=

π

6

時，y有最大值為2，當x=

2π

3

時，y有最小值為-2．
∴可得A=2，且函數(shù)的周期T=2（

2π

3

-

π

6

）=π，得ω=

2π

π

=2．-----------------------（4分）
把(

π

6

，2)代入f（x）=2sin（2x+?），得2•

π

6

+?=

π

2

+2kπ (k∈Z)
∴?=

π

6

+kπ (k∈Z)，結合|?|＜

π

2

取k=0，得?=

π

6

∴函數(shù)f（x）表達式為：f(x)=2sin(2x+

π

6

)．-----------------------（6分）
（2）結合（1）的表達式，得g(x)=2sin(-2x+

π

6

)=-2sin(2x-

π

6

)，-----------------------（8分）
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z-----------------------（10分）
得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z
所以g（x）的單調遞減區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ ]，k∈Z．-----------------------（12分）

點評：本題給出y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要求我們確定其解析式并求函數(shù)的單調減區(qū)間，著重考查了三角函數(shù)的圖象、函數(shù)的周期與單調性等知識，屬于基礎題．