Question

【題目】(本小題滿分15分)

在等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

Answer 1

【答案】（1）bn=3n－1；（2）（2）Sn=(n－1)·3n+1

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的概念，和數(shù)列的求和，尤其是等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用，以及利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和的思想的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)已知的項(xiàng)之間的關(guān)系式，運(yùn)用基本元素表示得到數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解

（2）結(jié)合第一問(wèn)中的結(jié)論，得到cn=an·bn=(2n－1)·3n－1，的通項(xiàng)公式，分析通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，選擇錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和。

解: (1)由a1，a2，a5是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)得，

a22= a1·a5(a1+d)2=a1· (a1+4d) 2分

a12+2a1d+ d2 = a12+4a1dd2 =2a1d，又d≠0，所以d=2a1=2，

從而an= a1+(n－1) d=2n－1， 5分

則b1= a1=1，b2= a2=3，

則等比數(shù)列{bn}的公比q=3，從而bn=3n－1． 7分

(2)由(1)得，cn=an·bn=(2n－1)·3n－1， 8分

則Sn= 1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n－1)·3n－1 ①

3Sn= 1·3+3·32+5·33+…+(2n－3)·3n－1+(2n－1)·3n ② 10分

①－②得， －2Sn= 1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n－1－(2n－1)·3n

=1+2×－(2n－1)·3n=－2 (n－1)·3n－2 13分

則Sn=(n－1)·3n+1． 15分