【題目】試討論函數(shù)f(x)= 在區(qū)間[0,1]上的單調性.
【答案】解:f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù),理由如下:
證法一:設x1、x2∈﹣1,1]且x1<x2 , 即﹣1≤x1<x2≤1.
f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = =﹣ ,
∵x2﹣x1>0, >0,
∴當x1>0,x2>0時,x1+x2>0,
那么f(x1)>f(x2).
故f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù);
證法二:∵函數(shù)f(x)= ,令y= ,u=1﹣x2 ,
則y′= ,u′=﹣2x.
∴f′(x)= ,
當x∈[0,1)時,f′(x)≤0恒成立,f(x)>0恒成立
當x=1時,f(x)=0
故f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)
【解析】f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù),理由如下:
證法一:設x1、x2∈﹣1,1]且x1<x2 , 作差判斷出f(x1)>f(x2)可得:f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù);
證法二:求導,根據(jù)當x∈[0,1)時,f′(x)≤0恒成立,f(x)>0恒成立,當x=1時,f(x)=0可得:f(x)= 在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù);
【考點精析】掌握函數(shù)單調性的判斷方法和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解答本題的根本,需要知道單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ (x>0,m>0)和函數(shù)g(x)=a|x﹣b|+c(x∈R,a>0,b>0).問:
(1)證明:f(x)在( ,+∞)上是增函數(shù);
(2)把函數(shù)g1(x)=|x|和g2(x)=|x﹣1|寫成分段函數(shù)的形式,并畫出它們的圖象,總結出g2(x)的圖象是如何由g1(x)的圖象得到的.請利用上面你的結論說明:g(x)的圖象關于x=b對稱;
(3)當m=1,b=2,c=0時,若f(x)>g(x)對于任意的x>0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x||x+1|<1},B={x|y= ,y∈R},則A∩RB=( )
A.(﹣2,1)
B.(﹣2,﹣1]
C.(﹣1,0)
D.[﹣1,0)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=2和f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1對任意實數(shù)x都成立.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當t∈[﹣1,3]時,求y=f(2t)的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x﹣ )+2sin(x﹣ )cos(x﹣ ).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程.
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當, 時,討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù);
(2)當時,如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點, ,證明: .
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