Question

（本小題滿分14分）已知橢圓過點，離心率為．過橢圓右頂點的兩條斜率乘積為的直線分別交橢圓于兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）直線是否過定點？若過定點，求出點的坐標；若不過，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的相交問題、韋達定理等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，橢圓過定點及離心率組成方程組解出和，從而得到橢圓的標準方程；第二問，利用第一問的結(jié)論，數(shù)形結(jié)合可知直線AM和直線AN的斜率存在且不為0，設出直線AM的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達定理，可得到M點的橫坐標，代入直線AM的方程中，再得到M點的縱坐標，同理，得到N點坐標，從而得到直線MN的方程，直接觀察可知D點坐標.

試題解析：（1）由已知得，解得.

∴橢圓的標準方程為.

（2）由（1）可知橢圓右頂點.

由題意可知，直線AM和直線AN的斜率存在且不為0.

設直線AM的方程為.

∵，得.

成立.

∴，∴.

∴.

∴.

∵直線AM和直線AN的斜率乘積為，故可設直線AN的方程為.

同理，易得.

∴.

∴當時，即時，.

直線MN的方程為.

整理得：.

顯然直線MN過定點.（點M、N關于原點對稱）

當，即時，直線MN顯然過定點.

綜上所述，直線MN過定點.

考點：橢圓的標準方程、直線與橢圓的相交問題、韋達定理.