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【題目】已知點,,動點滿足,記M的軌跡為曲線C

1)求曲線C的方程;

2)過坐標原點O的直線lCP、Q兩點,點P在第一象限,軸,垂足為H.連結QH并延長交C于點R

i)設O到直線QH的距離為d.求d的取值范圍;

ii)求面積的最大值及此時直線l的方程.

【答案】(1) ;(2) (i ii)面積最大值為,直線的方程為.

【解析】

1)根據題意列出方程求解即可

2)聯(lián)立直線與圓的方程,得出P、QH三點坐標,表示出QH直線方程,采用點到直線距離公式求解;利用圓的幾何關系,表示出三角形的底和高,再結合函數最值問題進行求解

1)由及兩點距離公式,

,

化簡整理得,

所以曲線C的方程為;

(2)(i)設直線l的方程為

將直線l的方程與圓C的方程聯(lián)立,消去y,

得(,解得

因此,,,

所以直線QH的方程為

到直線QH的距離,

時.,所以,

(ii)過OD,則DQR中點,且由(i)知,

,

又由,故的面積,

,有,所以

當且僅當時,等號成立,且此時由(i)有,即.

綜上,的面積最大值為的面積最大值為,且當面積最大時直線的方程為.

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