Question

【題目】已知函數(shù)
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣ （sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣ ）
證明：
（1）存在唯一x0∈（0， ），使f（x0）=0；
（2）存在唯一x1∈（ ，π），使g（x1）=0，且對(duì)（Ⅰ）中的x0 ， 有x0+x1＜π．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣ cosx＜0，

∴函數(shù)f（x）在（0， ）上為減函數(shù)，

又f（0）=π﹣ ＞0，f（ ）=﹣π2﹣ ＜0；

∴存在唯一的x0∈（0， ），使f（x0）=0；

（2）證明：考慮函數(shù)h（x）= ﹣4ln（3﹣ x），x∈[ ，π]，

令t=π﹣x，則x∈[ ，π]時(shí)，t∈[0， ]，

記函數(shù)u（t）=h（π﹣t）= ﹣4ln（1+ t），

則u′（t）= ﹣

= ﹣

= ﹣

=

= ，

由（Ⅰ）得，當(dāng)t∈（0，x0）時(shí)，u′（t）＞0；

在（0，x0）上u（x）是增函數(shù)，又u（0）=0，∴當(dāng)t∈（0，x0]時(shí)，u（t）＞0，

∴u（t）在（0，x0]上無(wú)零點(diǎn)；

在（x0， ）上u（t）是減函數(shù)，且u（x0）＞0，u（ ）=﹣4ln2＜0，

∴存在唯一的t1∈（x0， ），使u（t1）=0；

∴存在唯一的t1∈（0， ），使u（t1）=0；

∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（ ，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；

∵當(dāng)x∈（ ，π）時(shí)，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）與h（x）有相同的零點(diǎn)，

∴存在唯一的x1∈（ ，π），使g（x1）=0，

∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．

【解析】（1）根據(jù)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＜0，得出f（x）是單調(diào)減函數(shù)，
再根據(jù)f（0）＞0，f（ ）＜0，得出此結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）= ﹣4ln（3﹣ x），x∈[ ，π]，令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零點(diǎn)t1∈（0， ），即證g（x）存在唯一的零點(diǎn)x1∈（ ，π），滿足x0+x1＜π．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．