Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當a≠0時，求函數(shù)f（x）的極小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，由此利用導數(shù)的幾何意義能求出曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．
（2）由f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）=0得x=

a

3

或x=a，列表討論，能求出函數(shù)f（x）在x=a處的極小值．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，
得f（2）=-2，且f′（x）=-3x²+4x-1，f′（2）=-5．…2分
所以，曲線y=-x（x-1）²在點（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．…3分
（2）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f′（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．…6分
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
①若a＞0，當x變化時，f′（x）的正負如下表：

x	（-∞， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在x=

a

3

處取得極小值f(

a

3

)，且f（

a

3

）=-

4

27

a3．…8分
②若a＜0，當x變化時，f′（x）的正負如下表：

x	（-∞，a）	a	（a， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值f（a），且f（a）=0．…10分．

點評：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運用，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．