Question

已知f（x）=

lnx+k

ex

（k為常數(shù)），且y=f（x）在x=1處取極值
（1）求k的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=（x²+x）f′（x），證明對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=

1 x ex-ex(lnx+k)

e2x

，f′(1)=

e-ke

e2

=0，由此能求出k=1．
（2）由（1）知x＞0，f′(x)=

1

xex

(1-x-xlnx)，令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能示出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）由已知得g（x）=

x+1

ex

(1-x-xlnx)，x∈（0，+∞），對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2等價于1-x-xlnx＜

ex

x+1

(1+e2)，由此利用構(gòu)造法能證明對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

解答： （1）解：∵f（x）=

lnx+k

ex

（k為常數(shù)），
∴f′(x)=

1 x ex-ex(lnx+k)

e2x

，
∵y=f（x）在x=1處取極值，
∴f′(1)=

e-ke

e2

=0，解得k=1．
（2）解：由（1）知f（x）=

lnx+1

ex

，
∴x＞0，f′(x)=

1

xex

(1-x-xlnx)，
令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
當x∈（0，1）時，h（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，
又e^x＞0，∴x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（3）證明：∵g（x）=（x²+x）f′（x），
∴g（x）=

x+1

ex

(1-x-xlnx)，x∈（0，+∞），
∴對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2等價于1-x-xlnx＜

ex

x+1

(1+e2)，
由（2）知h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
∴h′（x）=-lnx-2=-（lnx-lne^-2），x∈（0，+∞），
∴當x∈（0，e^-2）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
當x∈（e^-2，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）的最大值為h（e^-2）=1+e^-2，
∴對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．