Question

【題目】記無窮數(shù)列的前n項(xiàng)，，…，的最大項(xiàng)為，第n項(xiàng)之后的各項(xiàng)，，…的最小項(xiàng)為，．

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫出，，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷是否為等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，請說明理由；

（3）若數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列，求證：是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）是等差數(shù)列，公差；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用和表示出數(shù)列即可；

（2）根據(jù)，求出數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，確定數(shù)列類型；

（3）根據(jù)數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列，可以設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求出數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而表示出的通項(xiàng)公式.

（1）由題知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在時是單調(diào)遞增數(shù)列，

當(dāng)時，，，

所以，

當(dāng)時，，，

所以，

當(dāng)時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以，，

故，

整理得.

（2）由題知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

所以數(shù)列是單調(diào)遞減的數(shù)列，且，

由題知，，

因?yàn)?/span>，

故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)時，，，

故，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，

即數(shù)列是等差數(shù)列，公差.

（3）由題知數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列，

故設(shè)且公差，

當(dāng)時，有，

整理得，

若，則有，

故，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，

當(dāng)時，

類似的可以證明，

因?yàn)?/span>，

故有，

故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)時，，，

故，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，

即數(shù)列是等差數(shù)列，公差為.