Question

已知函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，f（x）的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2，則f（1）+f（2）+…f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：先將原函數(shù)用降冪公式轉(zhuǎn)化為：f（x）=

A

2

cos（2ωx+2?）+

A

2

+1，由相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2可知周期求得ω，由最大值為3，求得A，又由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），求得?，進(jìn)而得f（x）再研究問(wèn)題．

解答：解：將原函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+?）+1轉(zhuǎn)化為：f（x）=

A

2

cos（2ωx+2?）+

A

2

+1
相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2可知周期為：4，則2ω=

2π

4

=

π

2

，ω=

π

4

由最大值為3，可知A=2
又∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），
∴cos2?=0
∴2∅=kπ+

π

2

∴f（x）=cos（

π

2

x+kπ+

π

2

）+2=2±sin（

π

2

x）
∵f（1）=2+1，f（2）=0+2，f（3）=-1+2，f（4）=0+2…
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=502×8+5=4021
或f（1）=2-1，f（2）=0+2，f（3）=1+2，f（4）=0+2…
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=502×8+3=4019
故答案為：4021或4019

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的表達(dá)式的求法，函數(shù)的值的求法，考查計(jì)算能力．