【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點E在棱PB上.

(1)求證:平面AEC⊥平面PDB;
(2)當PD=2AB,且E為PB的中點,求二面角B﹣AE﹣C的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵PD⊥底面ABCD,AC平面ABCD,

∴PD⊥AC,

底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD,

又PD∩BD=D,∴AC⊥平面ABCD,

又AC平面AEC,

∴平面AEC⊥平面PDB.


(2)解:分別以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,

不妨設AB=2,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,4),E(1,1,2),

=(0,2,0), =(﹣1,1,2),

取平面ABC的一個法向量為 ,

設平面ABE的法向量 ,則 ,可得 ,取 =(2,0,1).

= = =

∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值為


【解析】(1)由PD⊥底面ABCD,可得PD⊥AC,利用正方形的性質可得:AC⊥BD,再利用線面面面垂直的判定與性質定理即可證明.(2)分別以DA、DC、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,利用法向量的夾角公式即可得出.
【考點精析】認真審題,首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直).

練習冊系列答案
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