Question

已知函數(shù)f'（x）=

2ax2+x-(2a-1)

x2

=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞），f'（x）≥0處取得極值，求f'（x）≤0，（0，+∞）的值；
（2）若a=0，函數(shù)f'（x）=

x+1

x2

＞0在f（x）上是單調(diào)函數(shù)，求（0，+∞）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′(x)=2a-

b

x2

+

1

x

，由題意可得

f′(1)=0 f′( 1 2 )=0

，從而求出a，b；
（2）由f′（1）=2可得b=2a-1，從而化f′(x)=

2ax2+x-(2a-1)

x2

=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

；從而得到f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，從而求得．

解答： 解：（1）f′(x)=2a-

b

x2

+

1

x

，
由

f′(1)=0 f′( 1 2 )=0

，可得  

a=- 1 3 b= 1 3

．
（2）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），因?yàn)閒′（1）=2，所以b=2a-1．
所以f′(x)=

2ax2+x-(2a-1)

x2

=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

；
要使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．
當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x+1

x2

＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，x₁=-1，x2=1-

1

2a

＞1，f（x）在（0，+∞）上不單調(diào)，
當(dāng)a＞0時(shí)，要使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只要1-2a≥0，即0＜a≤

1

2

綜上所述，a的取值范圍是a∈[0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．