Question

（2012•泰州二模）已知正方體C₁的棱長(zhǎng)為18

2

，以C₁各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為C₂，以C₂各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為C₃，以C₃各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為C₄，…，依此類推，記凸多面體C_n的棱長(zhǎng)為a_n，貝a₆=

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件先求出a₁，a₂，a₃，然后利用歸納推理可以得到a₆的值．

解答：解：分三步求解，如下
（1）正方體C1各面中心為頂點(diǎn)的凸多面體C2為正八面體，
它的中截面（垂直平分相對(duì)頂點(diǎn)連線的界面）是正方形，
該正方形對(duì)角線長(zhǎng)等于正方體的棱長(zhǎng)，
所以它的棱長(zhǎng)a2=

18 2

2

=18．
（2）正八面體C2各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體C3是正方體，
正方體C3面對(duì)角線長(zhǎng)等于C2棱長(zhǎng)的

2

3

（正三角形中心到對(duì)邊的距離等于高的

2

3

），
因此對(duì)角線為12，所以a3=

12

2

（3）以上方式類推，得a4=

a3

2

=

12

2

=6，a5=

2 3 a4

2

=

2 3 ×6

2

=

4

2

，a6=

a5

2

=

4

2 ? 2

=

4

2

=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，可以從中找到規(guī)律，分奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)討論，可以求an通項(xiàng)