Question

（2012•泰州二模）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別是棱BC、AB的中點，點F在棱CC₁上，已知AB=AC，AA₁=3，BC=CF=2．
（1）求證：C₁E∥平面ADF；
（2）若點M在棱BB₁上，當(dāng)BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF？

Answer 1

分析：（1）連接CE交AD于O，連接OF．因為CE，AD為△ABC中線，所以O(shè)為△ABC的重心，

CF

CC1

=

CO

CE

=

2

3

．由此能夠證明C₁E∥平面ADF．
（2）當(dāng)BM=1時，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，先證出AD⊥平面B₁BCC₁．再證明當(dāng)BM=1時，平面CAM⊥平面ADF．

解答：解：（1）連接CE交AD于O，連接OF．
因為CE，AD為△ABC中線，
所以O(shè)為△ABC的重心，

CF

CC1

=

CO

CE

=

2

3

．
從而OF∥C₁E．…（3分）
OF?面ADF，C₁E?平面ADF，
所以C₁E∥平面ADF．…（6分）
（2）當(dāng)BM=1時，平面CAM⊥平面ADF．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
由于B₁B⊥平面ABC，BB₁?平面B₁BCC₁，
所以平面B₁BCC₁⊥平面ABC．
由于AB=AC，D是BC中點，所以AD⊥BC．
又平面B₁BCC₁∩平面ABC=BC，
所以AD⊥平面B₁BCC₁．
而CM?平面B₁BCC₁，于是AD⊥CM．…（9分）
因為BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，
所以CM⊥DF． …（11分）
DF與AD相交，所以CM⊥平面ADF．
CM?平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…（13分）
當(dāng)BM=1時，平面CAM⊥平面ADF．…（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．