【題目】如圖所示的幾何體中，底面為菱形， ， ， 與相交于點(diǎn)，四邊形為直角梯形， ， ， ，平面底面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得平面.由面面垂直的判斷定理可得平面平面.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論和題意建立空間直角坐標(biāo)系，由平面的法向量可得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）因?yàn)榈酌?/span>為菱形，所以，

又平面底面，平面平面，

因此平面，從而.

又，所以平面，

由， ， ，

可知， ，

， ，

從而，故.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取中點(diǎn)，由題可知，所以平面，又在菱形中， ，所以分別以， ， 的方向?yàn)?/span>， ， 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖示），

則， ， ， ， ，

所以 ， ， .

由（1）可知平面，所以平面的法向量可取為.

設(shè)平面的法向量為，

則即即令，得，

所以.

從而 .

故所求的二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問(wèn)到誰(shuí)申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí)，甲說(shuō)：“丙或丁申請(qǐng)了”；乙說(shuō)：“丙申請(qǐng)了”；丙說(shuō)：“甲和丁都沒(méi)有申請(qǐng)”；丁說(shuō)：“乙申請(qǐng)了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說(shuō)的是對(duì)的，那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______．

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（1）請(qǐng)完成列聯(lián)表；

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計(jì)

男生

40

女生

30

合計(jì)

100

（2）根據(jù)列聯(lián)表，是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)？并說(shuō)明你的理由.

附：參考公式與臨界值表如下：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在C上．

求C的方程；

設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB分別與x軸交于點(diǎn)M，N，若，求k．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線： （為參數(shù)， ），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線： .

（1）試將曲線與化為直角坐標(biāo)系中的普通方程，并指出兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，兩曲線相交于， 兩點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若，當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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（1）寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；

（2）若點(diǎn)，求的值.

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