Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2–2x+2．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）當x∈[m，n]時，f（x）的取值范圍為[2m，2n]，試求實數(shù)m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)求解x<0 時解析式，再根據(jù)分段函數(shù)形式得結(jié)果（2）先根據(jù)函數(shù)值域確定m取值范圍，再根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系分類討論最值取法，最后根據(jù)最值求m，n的值．

（1）當 x<0 時，–x>0，

由題意，f（–x）=（–x）2 +2x+2=x2 +2x+2，

因為 f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（–x）=x 2 +2x+2，

∴f（x）=

（2）∵函數(shù) f（x）的值域為[1，+∞），顯然有 2m≥1，即 m≥

①當時，f（x）單調(diào)遞減，此時

∴m2 =n2 ，顯然不成立，

②當時，f（x）在（m，1）上單調(diào)遞減，在（1，n）上單調(diào)遞增，

f（x）min =f（1）=1=2m，f（m）= f（）=，f（n）=n2 –2n+2，

若f（x）max =f（）, 即2n=，n= （舍）

若 f（x）max =f（n），即 2n=n2 –2n+2，n=2+ 或n=2 （舍）

∴m=, n=2+

③當 1<m<n 時，f（x）單調(diào)遞增

此時 ∴ （舍）

綜上，m=