Question

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，的兩邊所在直線的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)是軸上的一點(diǎn)，若（1）中軌跡上存在兩點(diǎn)使得，求以為直徑的圓面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由已知，列出方程，即可求解點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求解，由此列出不等式組，進(jìn)而求得，又由為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，可求得的坐標(biāo)點(diǎn)，求得的值，即可得到結(jié)論．

詳解：（1）由已知，即，

所以，又三點(diǎn)構(gòu)成三角形，得

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得分別是短軸的兩端點(diǎn)，得到，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，

則由得①，

聯(lián)立，得，

由得，整理得.

由韋達(dá)定理得，，②

由①②，消去得，

由，解得，

又因?yàn)?/span>為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，可求得點(diǎn)，此時(shí)，

綜上，或，又因?yàn)橐?/span>為直徑的圓面積，

所以的取值范圍是.