Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值．
（Ⅱ）令，若g（x）＜a-2對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，
∴f（x）的最小正周期 T==π．由于-1≤sin（2x+）≤1，∴1-≤f（x）≤+1，
故f（x）的最小值是 1-．
（Ⅱ）由題意可得 =sin[2（x+）+]+1-1=cos2x，
∵-≤x≤，∴-≤2x≤，故當(dāng)x=0時(shí)，cos2x 有最大值為，
故＜a-2，∴a＞2+，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ 2+，+∞）．
分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)f（x）的解析式為 sin（2x+）+1，故f（x）的最小正周期 T=，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）由題意求得g（x）=cos2x，根據(jù)x的范圍求得 2x的范圍，由此求得g（x）=cos2x 的最大值，
根據(jù)題意可得 ＜a-2，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性以及三角函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求出g（x）的解析式是解題的關(guān)鍵．