Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AB=AC=BC=AA₁，D，E分別為BC，BB₁的中點．
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求證CE⊥平面AC₁D；
（3）直線C₁A₁與平面AC₁D所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接A₁C，交AC₁于N，連接DN，證明DN∥A₁B，即可證明A₁B∥平面AC₁D；
（2）根據(jù)BB₁⊥平面ABC，得到BB₁⊥AD，等腰△ABC中根據(jù)“三線合一”，得到AD⊥BC，從而證出AD⊥平面BB₁C₁C，可得AD⊥CE．正方形BB₁C₁C中，根據(jù)Rt△CBE≌Rt△C₁CD證出C₁D⊥CE，再利用線面垂直判定定理即可證出CE⊥平面AC₁D；
（3）求出A₁到平面AC₁D的距離，即可求出直線C₁A₁與平面AC₁D所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：連接A₁C，交AC₁于N，連接DN，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所以N為A₁C的中點，又D為BC中點．所以DN∥A₁B，
DN?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D．
（2）證明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
∵△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵CE?平面BB₁C₁C，∴AD⊥CE，
∵正方形BB₁C₁C中，D、E分別為BC、BB₁的中點，
∴Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE，可得∠BCE+∠C₁DC=90°，得C₁D⊥CE，
∵AD、C₁D是平面AC₁D內(nèi)的相交直線，∴CE⊥平面AC₁D；
（3）解：設(shè)AB=AC=BC=AA₁=2，則△AC₁D中，AC₁=2

2

，C₁D=

5

，AD=

3

，
∴S△AC1D=

1

2

×

3

×

5

=

15

2

，
設(shè)A₁到平面AC₁D的距離為h，即B到平面AC₁D的距離為h，
∵S△C1DB=

1

2

×1×2=1，
∴

1

3

×

15

2

×h=

1

3

×1×

3

，
∴h=

5

2

，
∴直線C₁A₁與平面AC₁D所成的角的正弦值

5

4

．

點評：本題在特殊的正三棱柱中證明線面平行、線面垂直，并求直線與平面所成角．著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的判斷與證明和直線與平面所成角的定義及求法等知識，屬于中檔題．