Question

設(shè)f₁（x）=cosx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，即f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N₊，若△ABC的內(nèi)角A滿足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0，則sinA的值是（　�。�

• A、1
• B、

  3

  2

• C、

  2

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知分別求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），得到從第五項(xiàng)開始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)，再結(jié)合f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）+f₂₀₁₄（A）=0得到cosA-sinA=0，則A可求．

解答： 解：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
從第五項(xiàng)開始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx，
f₂₀₁₄（x）=）=f_4×503+2（x）=f₂（x）=-sinx，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）+f₂₀₁₄（A）=0，
∴cosA-sinA=0，
∵A為三角形的內(nèi)角
∴sinA=

2

2

．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，關(guān)鍵是規(guī)律的發(fā)現(xiàn)．是中檔題．