Question

9．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）求證：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數列
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1，化簡已知條件，轉化推出$\frac{1}{Sn}$-$\frac{1}{Sn-1}$=2．即可證明數列是等差數列；
（2）利用（1）求出數列的和，通過已知條件轉化求解即可．

解答 證明：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
又a_n+2S_n•S_n-1=0，所以S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0．
若S_n=0，則a₁=S₁=0與a₁=$\frac{1}{2}$矛盾．
故S_n≠0，所以$\frac{1}{Sn}$-$\frac{1}{Sn-1}$=2．
又$\frac{1}{S1}$=2，所以{$\frac{1}{Sn}$}是首項為2，公差為2的等差數列．-----（6分）
（2）解：由（1）得$\frac{1}{Sn}$=2+（n-1）•2=2n，
故S_n=$\frac{1}{2n}$（n∈N₊）．
當n≥2時，a_n=-2S_n•S_n-1=-2•$\frac{1}{2n}$•$\frac{1}{2（n-1）}$
=-$\frac{1}{2n（n-1）}$；
當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$．
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{-\frac{1}{2n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．----（12分）

點評 本題考查數列的遞推關系式以及通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力．