Question

19．若正數(shù)t滿足a（2e-t）lnt=1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）$∪[\frac{1}{e}，+∞）$．

Answer 1

分析 由a（2e-t）lnt=1⇒h（x）=（2e-t）lnt與y=$\frac{1}{a}$有交點(diǎn)，求出a 的范圍即可．

解答 解：正數(shù)t滿足a（2e-t）lnt=1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）⇒$\frac{1}{a}$=（2e-t）lnt，
設(shè)h（x）=（2e-t）lnt，h′（x）=$\frac{2e}{t}-1-lnt$，
h′（x）=$\frac{2e}{t}-1-lnt$=0⇒x=e，∴x∈（0，e）時(shí)h（x）遞增，x∈（e，+∞）時(shí)h（x）遞減，$\frac{1}{a}$≤h（x）=（e）=e⇒a≥$\frac{1}{e}$或a＜0．
故答案為：（-∞，0）$∪[\frac{1}{e}，+∞）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．