Question

已知（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和比（a+b）²ⁿ展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和小120，求：
（1）（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)；   
（2）（a+b）²ⁿ展開(kāi)式的中間項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由題意可得2^n-1+120=2^2n-1，求得 n=4．可得（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開(kāi)式中第三項(xiàng)為 T₃=

C

2 4

•(

1

3

)2，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的開(kāi)式的中間項(xiàng)為T₅=

C

4 8

•a⁴•b⁴，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）由題意可得2^n-1+120=2^2n-1，故有 （2ⁿ-16）（2ⁿ+15）=0，故2ⁿ=16，解得 n=4．
故（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開(kāi)式中第三項(xiàng)為 T₃=

C

2 4

•(

1

3

)2=

2

3

．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的開(kāi)式的中間項(xiàng)為T₅=

C

4 8

•a⁴•b⁴=70a⁴b⁴．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．