Question

已知圓O：x²+y²=2，過(guò)點(diǎn)A（1，1）的直線交圓O所得的弦長(zhǎng)為

2 5

5

，且與x軸的交點(diǎn)為雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)F（c，0）（c＞2），雙曲線E的離心率為

3

2

．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若直線y=kx+m（k＜0，k≠-

5

5

，m＞0）交y軸于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，交雙曲線右支于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，當(dāng)滿足關(guān)系

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

|PQ|

時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，以及弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到斜率k，再由c＞2，可得c=3，由離心率公式可得a=2，再由a，b，c的關(guān)系可得雙曲線方程；
（2）求出P，Q的坐標(biāo)，以及|PQ|，設(shè)出直線的參數(shù)方程，運(yùn)用參數(shù)t的幾何意義，代入雙曲線方程，由韋達(dá)定理，結(jié)合條件，即可得到m的方程，解得即可．

解答： 解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（1，1）的直線為y-1=k（x-1），
即為kx-y+1-k=0，
圓心O到直線的距離為d=

|1-k|

1+k2

，
由弦長(zhǎng)公式可得2

r2-d2

=2

2-d2

=

2 5

5

，
解得d=

3 5

5

，
由

|1-k|

1+k2

=

3 5

5

，解得k=-2或-

1

2

．
則有直線為y-1=-2（x-1），令y=0，則x=1.5＜2舍去，
或直線y-1=-

1

2

（x-1），令y=0，則x=3＞2成立，
即有c=3，
由離心率為

3

2

，即有a=2，b=

c2-a2

=

5

．
則雙曲線E的方程為

x2

4

-

y2

5

=1；
（2）設(shè)直線y=kx+m（k＜0，k≠-

5

5

，m＞0）的參數(shù)方程為

x=tcosα y=m+tsinα

（t為參數(shù)），
則令y=0，則有t=-

m

sinα

，（m＞0，sinα＞0）．
即有|PQ|=

m

sinα

，
將參數(shù)方程代入雙曲線的方程可得5t²cos²α-4（m+tsinα）²-20=0，
整理可得（5cos²α-4sin²α）-8mtsinα-4m²-20=0，
則有t₁+t₂=

8msinα

5cos2α-4sin2α

，t₁t₂=

-4m2-20

5cos2α-4sin2α

，
由

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

|PQ|

，以及M，N在P的下方，則可設(shè)|PM|=-t₁，|PN|=-t₂，
即有

1

-t1

+

1

-t2

=

sinα

m

，
即有

-(t1+t2)

t1t2

=

8msinα

4m2+20

=

sinα

m

，
即有4m²+20=8m²，
由m＞0，解得m=

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率公式的運(yùn)用，考查直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．