Question

若函數(shù)f（x）=

2

cosxsin（x+

π

4

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）寫出函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先化簡(jiǎn)f（x）=

2

cosxsin（x+

π

4

）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，可解得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，可解得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間，從而可求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：f（x）=

2

cosxsin（x+

π

4

）=cosx（sinx+cosx）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

．
（Ⅰ）由正弦函數(shù)的性質(zhì)：f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；最大值為

2 +1

2

．
（Ⅱ）∵由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，可解得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，可解得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)f（x）在[0，

π

8

]和[

5π

8

，π]上單調(diào)遞增，在[

π

8

，

5π

8

]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．