Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

m2

3

x3-

3

2

x2+（m+1）x+1．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈（0，+∞），不等式f'（x）＞x²m²-（x²+1）m+x²-x+1恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0，求出m；令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍為單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由題意知m（x²+2）-x²-2x＞0對(duì)任意m∈（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)可知對(duì)任意m∈（0，+∞），m＞

x2+2x

x2+2

恒成立．則有

x2+2x

x2+2

≤0，等價(jià)于x²+2x≤0，解不等式即可得到使原不等式恒成立的x的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=m²x²-3x+（m+1）．
由條件知f′（1）=0
所以m²+m-2=0
故m=1或m=-2
當(dāng)m=-2時(shí)，f（x）在x=1處取得極小值；
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）在x=1處取得極大值；
綜上可知，m=1
f′（x）=x²-3x+2．
由f′（x）≥0，得x≤1或x≥2；
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，[2，+∞）．
（2）由已知知，m²x²-3x+（m+1）＞x²m²-（x²+1）m+x²-x+1恒成立．
即m（x²+2）-x²-2x＞0對(duì)任意m∈（0，+∞）恒成立
由m（x²+2）-x²-2x＞0，及x²+2＞0，
可知對(duì)任意m∈（0，+∞），m＞

x2+2x

x2+2

恒成立．
故

x2+2x

x2+2

≤0，
又x²+2＞0恒成立，
所以，x²+2x≤0，
即-2≤x≤0，
故原不等式恒成立的x的取值范圍是-2≤x≤0．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．