Question

【題目】設f(x)＝ (m＞0，n＞0)．

(1) 當m＝n＝1時，求證：f(x)不是奇函數；

(2) 設f(x)是奇函數，求m與n的值；

(3) 在(2)的條件下，求不等式f(f(x))＋f <0的解集．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2） （3）(－∞，log23)．

【解析】試題分析:（1）只要舉一個反例說明f(x)不是奇函數即可（2）由奇函數性質得恒等式,再根據恒等式定理得對應項系數為零,解方程組可得m與n的值；注意驗證函數定義域關于零點對稱(3)先分離函數,判定函數單調性,再利用奇偶性以及單調性化簡不等式f(f(x))＋f <0為f(x)>－,最后最后為指數函數不等式: 2x<3,解得x<log23即為所求

試題解析：(1) 證明：因為當m＝n＝1時，f(x)＝，f(1)＝－，f(－1)＝， f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函數．

(2) 解：當f(x)是奇函數時，f(－x)＝－f(x)，即＝－對定義域內任意實數x成立．

化簡整理得(2m－n)·22x＋(2mn－4)·2x＋(2m－n)＝0，這是關于x的恒等式，

所以

所以 (不符，舍去)或

經檢驗符合題意，所以

(3) 解：由(2)可知f(x)＝＝ (－1＋)，易判斷f(x)是R上單調減函數；

由f(f(x))＋f()<0，得f(f(x))<ff(x)>－2x<3 x<log23，

所以f(x)>0的解集為(－∞，log23)．