Question

已知兩點(diǎn)M（2，3），N（2，-3）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，斜率為

1

2

的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B（A，B在直線MN兩側(cè)），且四邊形MANB面積的最大值為12

3

．求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：先設(shè)直線l的方程為y=

1

2

x+m（m∈R）并代入代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得a，b值，即得橢圓C的方程，從而解決問題．

解答：解：設(shè)直線l的方程為y=

1

2

x+m（m∈R）并代入b²x²+a²y²=a²b²
得：(b2+

a2

4

)x²+ma²x+a²m²-a²b²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R）
則x1+x2=-

ma2

b2+ a2 4

，x1x2=

m2a2-a2b2

b2+ a2 4

又SMANB=

1

2

|MN|•|x1-x2|=

1

2

|MN|•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

|MN|

4a2b4+a4b2-4a2b2m2

b2+ a2 4

顯然當(dāng)m=0時(shí)，S_MANB=

1

2

|MN|

4a2b4+a4b2-4a2b2m2

b2+ a2 4

=12

3

（1）
由題意|MN|=6（2）4b²+9a²=a²b²（3）
聯(lián)立（1）、（2）、（3）解得：a²=16，b²=12
即橢圓C的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系．本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用方程的思想解決具體問題，體現(xiàn)了方程的數(shù)學(xué)思想．