（2010•臺州二模）已知兩點M（2，3），N（2，-3）在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，斜率為
1
2
的直線l與橢圓C交于點A，B（A，B在直線MN兩側(cè)），且四邊形MANB面積的最大值為12
3
．w
（I）求橢圓C的方程；
（II）若點N到直線AM，BM距離的和為6
2
，試判斷△MAB的形狀．
分析：（I）設(shè)直線l的方程為y=
1
2
x+m（m∈R），代入b2x2+a2y2=a2b2得：(b2+
a2
4
)x2+ma2x+a2m2-a2b2=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1，2，y1，2∈R），則x1+x2=-
ma2
b2+
a2
4
，x1•x2=
ma2-a2b2
b2+
a2
4
，再由SMANB=
1
2
|MN|•|x1-x2|=
1
2
|MN|•
(x1+x2)2-4x1x2
=3•|MN|•
4a2b4+a4b2-4a2b2m2
b2+
a2
4
能求出橢圓C的方程．
（II）設(shè)直線MA、MB的方程分別為y=k1（x-2）+3（5）y=k2（x-2）+3（k1，2∈R），得：（16k12+12）x2+（96k1-64k12）x+64k12-192k1-48=0，得A(
8k12-24k1-6
4k12+3
，
-12k12-12k1+9
4k12+3
)，同理：B(
8k22-24k2-6
4k22+3
，
-12k22-12k2+9
4k22+3
)，所以
kAB=
y1-y2
x1-x2
=
-12k12-12k1+9
4k12+3
-
-12k22-12k2+9
4k22+3
8k12-24k1-6
4k12+3
-
8k22-24k2-6
4k22+3
=
1
2
，由此能夠證明△MAB直角三角形．
解答：解：（I）設(shè)直線l的方程為y=
1
2
x+m（m∈R），
代入b2x2+a2y2=a2b2
得：(b2+
a2
4
)x2+ma2x+a2m2-a2b2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1，2，y1，2∈R）
則x1+x2=-
ma2
b2+
a2
4
，x1•x2=
ma2-a2b2
b2+
a2
4
，------（3分）
又SMANB=
1
2
|MN|•|x1-x2|=
1
2
|MN|•
(x1+x2)2-4x1x2

=3•|MN|•
4a2b4+a4b2-4a2b2m2
b2+
a2
4
，
顯然當m=0時，SMANB=3•|MN|•
4a2b4+a4b2
b2+
a2
4
=12
3
（1）
由題意|MN|=6 （2）
4b2+9a2=a2b2（3）------（5分）
聯(lián)立（1）、（2）、（3）解得：a2=16，b2=12，
即橢圓C的方程為：
x2
16
+
y2
12
=1．（4）------（7分）
（II）設(shè)直線MA、MB的方程分別為y=k1（x-2）+3（5）y=k2（x-2）+3（k1，2∈R）
將（5）代入（4）得：（16k12+12）x2+（96k1-64k12）x+64k12-192k1-48=0------（9分）
則2x1=
64k12-192k1-48
16k12+12
，
∴x1=
8k12-24k1-6
4k12+3

∴A(
8k12-24k1-6
4k12+3
，
-12k12-12k1+9
4k12+3
)
同理：B(
8k22-24k2-6
4k22+3
，
-12k22-12k2+9
4k22+3
)
kAB=
y1-y2
x1-x2
=
-12k12-12k1+9
4k12+3
-
-12k22-12k2+9
4k22+3
8k12-24k1-6
4k12+3
-
8k22-24k2-6
4k22+3
=
1
2
------（12分）
化簡得：k12=k22，
∵k1≠k2，
∴k1=-k2
即直線MA與MB關(guān)于直線MN對稱，
∴∠AMN=∠BMN------（14分）
∴N到直線MA與MB距離均為3
2
，
又|MN|=6，
∴∠AMN=∠BMN=
π
4
，
∴∠AMB=
π
2
．
故△MAB直角三角形．------（15分）
點評：本題主要橢圓方程的求法，判斷三角形的形狀．解題時要熟練掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力．綜合性強，是高考的重點，易錯點是橢圓的知識體系不牢固．解題時要認真審題，注意化歸與轉(zhuǎn)化思想的靈活運用．
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[-1，1]
[-1，1]
．

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（2010•臺州二模）已知等差數(shù)列{an}中，a1+a5+a9=
π
4
，則sin（a4+a6）=
1
2
1
2
．

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4π
4π
．

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（2010•臺州二模）若P0（x0，y0）在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1外，則過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線方程是
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．那么對于雙曲線則有如下命題：若P0（x0，y0）在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)外，則過P0作雙曲線的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2的所在直線方程是
x0x
a2
-
y0y
b2
=1
x0x
a2
-
y0y
b2
=1
．

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