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數列的前項和為，且是和的等差中項，等差數列滿足，.
（1）求數列、的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，證明：.

（1），；（2）證明見解析．

解析試題分析：（1）由題中所給條件得，即，這是前項和與項的關系，我們可以利用把此式轉化為數列的項的遞推式，從而知數列是等比數列，通項易得，這樣等差數列的，，由基本量法可求得等差數列的通項公式；（2）數列是由等差數列相鄰兩項相乘后取倒數所得，其前項和應該用裂項相消法求得，而當求得后，所要證的不等式就顯而易見成立了.
（1）∵是和的等差中項，∴
當時，，∴
當時，，∴ ，即
∴數列是以為首項，為公比的等比數列，∴， 
設的公差為，，，∴  ∴   6分
（2）    
∴ 
∵,∴                                12分
考點：（1）已知數列前項和與項的關系，求通項公式，等差數列、等比數列通項公式；（2）裂項相消法求和與不等式。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知各項均不相等的等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝15，且a3＋1為a1＋1和a7＋1的等比中項．
(1)求數列{an}的通項公式與前n項和Sn；
(2)設Tn為數列{}的前n項和，問是否存在常數m，使Tn＝m[＋]，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在無窮數列中，，對于任意，都有，. 設， 記使得成立的的最大值為.
（1）設數列為1，3，5，7，，寫出，，的值；
（2）若為等比數列，且，求的值；
（3）若為等差數列，求出所有可能的數列.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

將數列按如圖所示的規(guī)律排成一個三角形數表，并同時滿足以下兩個條件：①各行的第一
個數構成公差為的等差數列；②從第二行起，每行各數按從左到右的順序都構成公比為的等比數列.若，，.

（1）求的值；
（2）求第行各數的和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定正整數，若項數為的數列滿足：對任意的，均有（其中），則稱數列為“Γ數列”．
（1）判斷數列和是否是“Γ數列”，并說明理由；
（2）若為“Γ數列”，求證：對恒成立；
（3）設是公差為的無窮項等差數列，若對任意的正整數，
均構成“Γ數列”，求的公差．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知各項均為正數的等比數列中，．
（1）求公比；
（2）若分別為等差數列的第3項和第5項，求數列的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數， 數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，若對一切成立，求最小正整數m．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知是各項為不同的正數的等差數列，成等差數列，又．
（1）證明：為等比數列；
（2）如果數列前3項的和為，求數列的首項和公差；
（3）在（2）小題的前題下，令為數列的前項和，求．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設數列的前項和為,
已知,,,是數列的前項和.
(1)求數列的通項公式;(2)求;
(3)求滿足的最大正整數的值.

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