Question

一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m，長(zhǎng)為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分．現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁，長(zhǎng)度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設(shè)，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．

（1）求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求的值，使體積V最大；

（3）問當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S是否也最大？請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

(1)；(2)；（3）是.

【解析】

試題分析：（1）本題求直四棱柱的體積，關(guān)鍵是求底面面積，我們要用底面半徑1和表示出等腰梯形的上底和高，從圖形中可知高為，而，因此面積易求，體積也可得出；（2）我們?cè)冢?）中求出，這里的最大值可利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的兩邊的正負(fù)性，確定是最大值點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上對(duì)應(yīng)用題來講，導(dǎo)數(shù)值為0的那個(gè)唯一點(diǎn)就是要求的極值點(diǎn)）；（3），上（2）我們可能把木梁的表面積用表示出來，，由于在體積中出現(xiàn)，因此我們可求的最大值，這里可不用導(dǎo)數(shù)來求，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719114774404459/SYS201411171911560568516504_DA/SYS201411171911560568516504_DA.020.png">

，可借助二次函數(shù)知識(shí)求得最大值，如果這里取最大值時(shí)的和取最大值的取值相同，則結(jié)論就是肯定的.

試題解析：（1）梯形的面積

=，． 2分

體積． 3分

（2）．

令，得，或（舍）．

∵，∴． 5分

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)． 7分

∴當(dāng)時(shí)，體積V最大． 8分

（3）木梁的側(cè)面積=，．

=，． 10分

設(shè)，．∵，

∴當(dāng)，即時(shí)，最大． 12分

又由（2）知時(shí)，取得最大值，

所以時(shí)，木梁的表面積S最大． 13分

綜上，當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S也最大． 14分

考點(diǎn)：（1）函數(shù)解析式；（2）用導(dǎo)數(shù)求最值；（3）四棱柱的表面積及其最值.