Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）當(dāng)a＞1時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若函數(shù)y=|f（x）﹣t|﹣1有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=a^xlna+2x﹣lna=2x+（a^x﹣1）lna
由于a＞1，
故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，lna＞0，a^x﹣1＞0，
所以f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
（Ⅱ）當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，因?yàn)閒'（0）=0，且f'（x）在R上單調(diào)遞增，
故f'（x）=0有唯一解x=0
所以x，f'（x），f（x）的變化情況如表所示：
  
又函數(shù)y=|f（x）﹣t|﹣1有三個(gè)零點(diǎn)，
所以方程f（x）=t±1有三個(gè)根，而t+1＞t﹣1，
所以t﹣1=（f（x））_min=f（0）=1，
解得t=2．