Question

在某地區(qū)的足球比賽中，記甲、乙、丙、丁為同一小組的四支隊伍，比賽采用單循環(huán)制（每兩個隊比賽一場），并規(guī)定小組積分前兩名的隊出線，其中勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分．由于某些特殊原因，在經(jīng)過三場比賽后，目前的積分狀況如下：甲隊積7分，乙隊積1分，丙和丁隊各積0分．根據(jù)以往的比賽情況統(tǒng)計，乙隊勝或平丙隊的概率均為

1

4

，乙隊勝、平、負丁隊的概率均為

1

3

，且四個隊之間比賽結(jié)果相互獨立．
（Ⅰ）求在整個小組賽中，乙隊最后積4分的概率；
（Ⅱ）設隨機變量 X為整個小組比賽結(jié)束后乙隊的積分，求隨機變量 X的分布列與數(shù)學期望；
（Ⅲ）在目前的積分情況下，M同學認為：乙隊至少積4分才能確保出線，N同學認為：乙隊至少積5分才能確保出線．你認為誰的觀點對？或是兩者都不對？（直接寫結(jié)果，不需證明）

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）設乙隊勝或平丙隊的事件分別A₁，A₂，A₃，乙隊勝、平、負丁隊的事件分別B₁，B₂，B₃，則P（A₁）=P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

2

，P（B_i）=

1

3

（i=1，2，3）．設乙隊最后積4分為事件C，則P（C）=P（A₁）P（B₃）+P（A₃）P（B₁）．
（II）隨機變量ξ的可能取值為：7，5，4，3，2，1．P（X=7）=P（A₁）P（B₁），P（X=5）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁），P（X=4）=

1

4

，P（X=3）=P（A₂）P（B₂），P（X=2）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂），P（X=1）=P（A₃）P（B₃）．
即可得到隨機變量X的分布列及其數(shù)學期望．
（III）N同學的觀點對，乙隊至少積5分才可以出線．當乙隊積5分時，丙隊或丁隊的可能積分為4，3，2，1，0．當乙隊積4分時，丙隊或丁隊的可能積分為6或4．即可判斷出．

解答： 解：（I）設乙隊勝或平丙隊的事件分別A₁，A₂，A₃，乙隊勝、平、負丁隊的事件分別B₁，B₂，B₃，
則P（A₁）=P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

2

，P（B_i）=

1

3

（i=1，2，3）．
設乙隊最后積4分為事件C，則P（C）=P（A₁）P（B₃）+P（A₃）P（B₁）=

1

4

×

1

3

+

1

2

×

1

3

=

1

4

．
（II）隨機變量ξ的可能取值為：7，5，4，3，2，1．
P（X=7）=P（A₁）P（B₁）=

1

4

×

1

3

=

1

12

，P（X=5）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）=

1

4

×

1

3

+

1

4

×

1

3

=

1

6

，
P（X=4）=

1

4

，P（X=3）=P（A₂）P（B₂）=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
P（X=2）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）=

1

4

×

1

3

+

1

2

×

1

3

=

1

4

，P（X=1）=P（A₃）P（B₃）=

1

2

×

1

3

=

1

6

．
可得隨機變量X的分布列為：

X	7	5	4	3	2	1
P（X）	1 12	1 6	1 4	1 12	1 4	1 6

E（X）=7×

1

12

+5×

1

6

+4×

1

4

+3×

1

12

+2×

1

4

+1×

1

6

=

10

3

．
（III）N同學的觀點對，乙隊至少積5分才可以出線．當乙隊積5分時，丙隊或丁隊的可能積分為4，3，2，1，0．乙隊為小組第二，可以出線．當乙隊積4分時，丙隊或丁隊的可能積分為6或4，因此不能確保乙隊出線．

點評：本題考查了古典概型的概率計算公式、互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式、隨機變量的分布列及其數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．