Question

為了開展全民健身運動，市體育館面向市民全面開放，實行收費優(yōu)惠，具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下：
①鍛煉時間不超過1小時，免費；
②鍛煉時間為1小時以上且不超過2小時，收費2元；
③鍛煉時間為2小時以上且不超過3小時，收費3元；
④鍛煉時間超過3小時的時段，按每小時3元收費（不足1小時的部分按1小時計算）已知甲、乙兩人獨立到體育館鍛煉一次，兩人鍛煉時間都不會超過3小時，設(shè)甲、乙鍛煉時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5，鍛煉時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.5和0.3．
（Ⅰ）求甲、乙兩人所付費用相同的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人所付費用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）根據(jù)題意分別設(shè)甲付費0元、2元、3元為事件A₁、A₂、A₃，乙付費0元、2元、3元為事件B₁、B₂、B₃．則P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.1，P（B₁）=0.5，P（B₂）=0.3，P（B₃）=0.2．設(shè)甲、乙兩人所付費用相同為事件M，則 M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，可得P（M）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）．
（II）由題意可知：隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A₁）P（B₁），
P（ξ=2）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁），P（ξ=3）=P（A₁）P（B₃）+P（A₃）P（B₁），P（ξ=4）=P（A₂）P（B₂），P（ξ=5）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂），P（ξ=6）=P（A₃）P（B₃）．即可得出分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）根據(jù)題意分別設(shè)甲付費0元、2元、3元為事件A₁、A₂、A₃，乙付費0元、2元、3元為事件B₁、B₂、B₃．
則P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=1-0.4-0.5=0.1，P（B₁）=0.5，P（B₂）=0.3，P（B₃）=1-0.5-0.3=0.2．
由題意可知：A_i與B_i相互獨立，
設(shè)甲、乙兩人所付費用相同為事件M，則 M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
∴P（M）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.37．
（II）由題意可知：隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A₁）P（B₁）=0.4×0.5=0.2，
P（ξ=2）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，P（ξ=3）=P（A₁）P（B₃）+P（A₃）P（B₁）=0.4×0.2+0.1×0.5=0.13，
P（ξ=4）=P（A₂）P（B₂）=0.5×0.3=0.15，P（ξ=5）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，P（ξ=6）=P（A₃）P（B₃）=0.1×0.2=0.02．

ξ	0	2	3	4	5	6
p（ξ）	0.2	0.37	0.13	0.15	0.13	0.02

Eξ=0×0.2+2×0.37+3×0.13+4×0.15+5×0.13+6×0.02=2.5．

點評：本題考查了古典概型的概率計算公式、互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．