Question

2．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，橢圓的離心率為e₁，雙曲線的離心率e₂，則$\frac{1}{e_1^2}+\frac{3}{e_2^2}$=4．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}=1$（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），${a}_{1}^{2}-_{1}^{2}$=${a}_{2}^{2}+_{2}^{2}$=c²，c＞0．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．可得m+n=2a₁，n-m=2a₂，由于∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=${m}^{2}+{n}^{2}-2mncos\frac{π}{3}$，化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}=1$（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），
${a}_{1}^{2}-_{1}^{2}$=${a}_{2}^{2}+_{2}^{2}$=c²，c＞0．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
則m+n=2a₁，n-m=2a₂，
解得m=a₁-a₂，n=a₁+a₂，
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，在△PF₁F₂中，
由余弦定理可得：（2c）²=${m}^{2}+{n}^{2}-2mncos\frac{π}{3}$，
∴4c²=$（{a}_{1}-{a}_{2}）^{2}$+$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$-（a₁-a₂）（a₁+a₂），
化為$4{c}^{2}={a}_{1}^{2}$+$3{a}_{2}^{2}$，
化為$\frac{1}{e_1^2}+\frac{3}{e_2^2}$=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．