Question

已知三點(diǎn)A（-

1

2

，0），B（2，0），P（sin（2x-

π

3

），cos（2x-

π

3

））（

π

12

≤x≤

π

4

）
（1）求△ABP面積的最小值；
（2）在（1）的條件下，求∠ABP的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)x的范圍，判斷出p點(diǎn)在x軸上方，列出面積的表達(dá)式，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值．
（2）求出|OP|、|PB|、|OB|的長(zhǎng)度，利用勾股定理判斷△OPB為直角三角形，進(jìn)而求得∠ABP．

解答： 解：（1）∵

π

12

≤x≤

π

4

，
∴-

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

，
∴cos(2x-

π

3

)＞0，即點(diǎn)P在x軸上方，
∴S△ABP=

1

2

•

5

2

•cos(2x-

π

3

)=

5

4

cos(2x-

π

3

)，
∵-

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

∴S△ABP≥

5

8

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

π

4

時(shí)，△ABP的面積的最小值為

5

8

3

．
（2）當(dāng)△ABP的面積取最小值時(shí)，點(diǎn)P(

1

2

，

3

2

)，
∴|OP|=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=1，|PB|=

( 1 2 -2)2+( 3 2 )2

=

3

，|OB|=2
∴|OP|²+|PB|²=|OB|²，即△OPB為直角三角形，且|OP|=1，|OB|=2，
∴∠ABP=

π

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用．注重了對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的考查．