Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，其前n項(xiàng)和為S_n．若S_n+1=2S_n+1，則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：把已知遞推式兩邊加1，得到等比數(shù)列{S_n+1}，求出其通項(xiàng)公式后，由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求解數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：∵S_n+1=2S_n+1，
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∵S₁+1=a₁+1=3≠0，
∴

Sn+1+1

Sn+1

=2．
∴數(shù)列{S_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴S_n+1=3•2^n-1，
∴S_n=3•2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=3•2^n-1-1-3•2^n-2+1=3•2^n-2（n≥2），
n=1時(shí)，a₁=2不滿足上式，
∴an=

2    n=1 3•2n-2  n≥2

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故答案為：

2    n=1 3•2n-2  n≥2

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是把已知遞推式變形，得到新的等比數(shù)列，是中檔題．