Question

13．設(shè)f（x）=$\frac{si{n}^{2}（2x+\frac{π}{4}）+a}{sin（2x+\frac{π}{4}）}$，0≤x≤$\frac{π}{4}$，a∈R．
（1）當(dāng)a=$\frac{3}{4}$時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值是7，求a的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=sin（2x+$\frac{π}{4}$），可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤1，由于當(dāng)a=$\frac{3}{4}$時(shí)，y=t+$\frac{\frac{3}{4}}{t}$，結(jié)合圖象由其單調(diào)性即可求得最小值．
（2）分類討論，當(dāng)a＜0，a=0時(shí)，y=t+$\frac{a}{t}$最小值不是7，當(dāng)a＞0時(shí)，可得y=t+$\frac{a}{t}$在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上增函數(shù)，討論可得當(dāng)a＞1，則t=1時(shí)y最小，y_min=7，即可解得a的值．

解答 解：設(shè)t=sin（2x+$\frac{π}{4}$），0≤x≤$\frac{π}{4}$時(shí)，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤1，
（1）當(dāng)a=$\frac{3}{4}$時(shí)，y=t+$\frac{\frac{3}{4}}{t}$ 在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是減函數(shù)，是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]上增函數(shù)，
f（x）=t+$\frac{\frac{3}{4}}{t}$的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上增函數(shù)，最小值小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，不可能是7；
當(dāng)a=0時(shí)，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上增函數(shù)，最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$≠7；
當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)椋╰₁+$\frac{a}{{t}_{1}}$）-（t₂+$\frac{a}{{t}_{2}}$）=$\frac{（{t}_{1}-{t}_{2}）（{t}_{1}{t}_{2}-a）}{{t}_{1}{t}_{2}}$，
所以y=t+$\frac{a}{t}$在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上增函數(shù)，
若a＞1，則t=1時(shí)y最小，y_min=1+a=7，所以a=6，
若$\frac{1}{2}$≤a≤1，則t=$\sqrt{a}$時(shí)y最小，y_min=2$\sqrt{a}$=7，不可能，
若a＜$\frac{1}{2}$，則t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)y最小，y_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$a=7，不可能，
綜上所述，若f（x）的最小值是7，則a的值6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．