Question

8．已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且過(guò)點(diǎn)A（2，2$\sqrt{2}$）．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F和點(diǎn)A的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)拋物線方程為y²=2px，把點(diǎn)A（2，2$\sqrt{2}$）的坐標(biāo)代入求p，則拋物線方程可求；
（2）寫(xiě)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式求解．

解答 解：（1）依題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，
將點(diǎn)A（2，2$\sqrt{2}$）代入y²=2px，得p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
（2）由已知得直線l的方程為$y=2\sqrt{2}（x-1）$，代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，
得2x²-5x+2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{5}{2}$，
又∵拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為|AB|=x₁+x₂+p，
∴|AB|=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式，是基礎(chǔ)題．