已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，點（1，
3
4
a）在橢圓C上．F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：x+y-m=0與橢圓C恰有一個公共點，在直線l上求一點P，使△PF1F2的周長最�。�
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質
專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：由題意聯(lián)立方程可得橢圓方程，化簡求△PF1F2的周長最小時點P的坐標．
解答： 解：（1）由題意得
1
a2
+
9a2
16b2
=1
c
a
=
1
2
a2=b2+c2

解得：a2=4，b2=3，
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由
x2
4
+
y2
3
=1
x+y-m=0
消去y得，
7x2-8mx+4m2-12=0，
由△=（-8m）2-28（4m2-12）=0得
m=±
7

易得F2（1，0），F(xiàn)1（-1，0），設F1（-1，0）關于直線l的對稱點為
F
′
1
(x1，y1)
則有
x1-1
2
+
y1
2
-m=0
y1
x1+1
=1

解得x1=m，y1=m+1；
所以直線
F
′
1
F2和直線l的交點P（
m2+1
2m
，
m2-1
2m
）；
若m=
7
，則P（
4
7
7
，
3
7
7
）；若m=-
7
，則P（-
4
7
7
，-
3
7
7
）；
由平面幾何的知識知，P點即為所求的點，此時△PF1F2的周長最小為
2+
(m-1)2+(m+1)2
=2+
2(m+1)
=6．
點評：本題綜合考查了圓錐曲線的應用，化簡是這個問題的難點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x2+log2|x|-4的零點m∈（a，a+1），a∈Z，則所有滿足條件的a的和為（　�。�
A、1B、-1C、2D、-2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f1（x）=
1
12
x4+aex（其中a是非零常數(shù)，e是自然對數(shù)的底），記fn（x）=fn-1′（x）（n≥2，n∈N*）
（1）求使?jié)M足對任意實數(shù)x，都有fn（x）=fn-1（x）的最小整數(shù)n的值（n≥2，n∈N*）；
（2）設函數(shù)gn（x）=f4（x）+f5（x）+…+fn（x），若對?n≥5，n∈N*，y=gn（x）都存在極值點x=tn，求證：點An（tn，gn（tn））（n≥5，n∈N*）在一定直線上，并求出該直線方程；（注：若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極值，則稱x0為函數(shù)y=f（x）的極值點．）
（3）是否存在正整數(shù)k（k≥4）和實數(shù)x0，使fk（x0）=fk-1（x0）=0且對于?n∈N*，fn（x）至多有一個極值點，若存在，求出所有滿足條件的k和x0，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-（a+2）x+2alnx（0＜a＜1）
（1）當a=
1
2
時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）判斷方程f（x）+a+
3
2
=0根的個數(shù)并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693，ln3≈1.099）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=an2+an，數(shù)列{bn}滿足b1=1，2bn-bn-1=0（n≥2，n∈N *）
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+1
x-2
（3≤x≤5）
（1）判斷f（x）的單調性并證明
（2）求f（x）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

森林失火，火勢以每分鐘100平方米的速度順風蔓延，消防站接到報警后立即派消防員前去，在失火5分鐘到達現(xiàn)場開始救火，已知消防員在現(xiàn)場平均每人每分鐘可滅火50平方米，所消耗的滅火材料等費用平均每人每分鐘125元，所消耗的車輛，器械和裝備等費用平均每人100元，而每燒毀1平方米森林損失費為60元，設消防站派x名消防員前去救火，從到現(xiàn)場到把火完全撲滅用了t分鐘．
（1）求出x與t的關系．
（2）設總損失為y元，則x為何值時，才能使總損失最少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
2
x
+ax-3（其中a＞0）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對?x∈[1，3]，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（1）求曲線在（1，f（1））處的切線方程；
（2）證明：0＜x＜1時f（x）＜0．

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